任取一个任意整数,该整数没有重复质因子的概率为6除以圆周率的平方

Question

任取一个任意整数,该整数没有重复质因子的概率为6除以圆周率的平方

Answer 1

两个自然数最大公约数为n的概率,记为p(n).
两个自然数最大公约数为n的条件是它们都能被n整除（任意一个自然数满足此条件的概率为1/n）,且它们除以n所得到的商互质,
即
p(n)=(1/n) * (1/n) * p(1) = p(1)/n^2
解这个方程 注意要解的是 p(1)
∑p(n)=∑p(1)/n^2=p(1)∑1/n^2
因为∑p(n)=1,∑1/n^2=π^2/6
所以p(1)=6/π^2