我数学不好遇到一道数学题不会1/7=142857，142+857=999，1/17=0588235294117647，05882352+94117647=99999999像这样其循环节=分母-1=2N位，且前N位+后N位=N个9的循环小数，一，他的趣味规律的原理是什么

Question

我数学不好 遇到一道数学题不会1/7=142857， 142+857=999， 1/17=0588235294117647， 05882352+94117647=99999999 像这样其循环节=分母-1=2N位，且前N位+后N位=N个9的循环小数，一，他的趣味规律的原理是什么？二，这样的小数有多少个?

Answer 1

对于真分数只研究1/a（是循环小数）的情况，因为k/a与之循环节的长度一样（整数除外），易证 而且1/a循环节必然存在，设循环节长度为2n 提取循环节为：(10^2n - 1)/ a = (10^2n + 10^n)/ a - (10^n + 1)/ a = 10^n[(10^n + 1)/a - 1)] + 10^n - 1 - [(10^n + 1)/a - 1)] 令t = (10^n + 1)/a - 1) 所以 循环节组成的整数为 (10^2n - 1)/ a = 10^n * t + 10^n - 1 - t 当t的意义表示 循环节前n为组成的整数时，而10^n - 1 - t则表示后n位表示的整数 那么 这样的a就符合要求