1加无穷小的无穷大次方是e那1加无穷大的无穷小次方呢?就是Lim(1+1/x)^xx→0极限是1吗还是一个数或者是发散的?

Question

1加无穷小的无穷大次方是e 那1加无穷大的无穷小次方呢?
就是
L i m (1+1/x)^x
x→0
极限是1吗 还是一个数 或者是发散的?

Answer 1

数学之美团为你解答
注意只能是 x→0+
-1 ≤ x ≤ 0 时 (1+ 1/x)^x 无意义
(1+ 1/x)^x = e^ [ x ln (1+ 1/x ) ]
lim(x→0+) x ln(1+ 1/x)（令 t = 1/x）
= lim(t→+∞) ln(1+t) / t
= lim(t→+∞) 1/(1+t) （洛必达法则）
= 0
∴ lim(x→0+) (1+ 1/x)^x = e^0 = 1
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