数列{xn}收敛的条件是{x2n}和{x2n+1}分别收敛于同一极限．

Question

数列{x_n}收敛的______条件是{x_2n}和{x_2n+1}分别收敛于同一极限．

Answer 1

必要性，因为{x_2n}和{x_2n+1}均为数列{x_n}的子列，故必要性是显然的．
充分性：假设

lim

n→∞

x2n=

lim

n→∞

x2n+1=A．
对于任意的ɛ＞0，
存在N₁＞0，使得当n＞N₁时，|x_2n-A|＜ɛ，
存在N₂＞0，使得当n＞N₂时，|x_2n+1-A|＜ɛ，
取N=max{2N₁，2N₂+1}，则当x＞N时，
|x_n-A|＜ɛ，
故

lim

n→∞

xn=A．
综上，{x_2n}和{x_2n+1}分别收敛于同一极限是数列{x_n}收敛的充要条件．
故答案为：充要．