如图，直线与直线之间的阴影区域(不含边界)记为W，其左半部分记为，右半部分记为．(Ⅰ)分别用不等式组表示和．(Ⅱ)若区域W中的动点P(x，y)到，的距离之积等于，求点P的轨迹C的方程；(Ⅲ

Question

如图，直线与直线之间的阴影区域(不含边界)记为W，其左半部分记为，右半部分记为．
(Ⅰ)分别用不等式组表示和．
(Ⅱ)若区域W中的动点P(x，y)到，的距离之积等于，求点P的轨迹C的方程；
(Ⅲ)设不过原点O的直线l与(Ⅱ)中的曲线C相交于，两点，且与，分别交于，两点．求证的重心与的重心重合．

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Answer 1

【分析】(I)根据图象可知W₁是直线y=kx和y=-kx左半部分之间的点的集合，W₂是y=kx和y=-kx左半部分之间的点的集合进而可得答案．
(II)利用点到直线的距离根据动点P(x，y)到l₁，l₂的距离之积等于d²，建立等式，求得x和y的关系式，即点P的轨迹方程．
(Ⅲ)先看当直线l与x轴垂直时设直线l的方程为x=a，进而求得M₁M₂，M₃M₄的中点坐标，判断出ΔOM₁M₂，ΔOM₃M₄的重心坐标都为(a，0)，再看直线l₁与x轴不垂直时，设出直线l的方程与P的轨迹方程联立，消去y，判别式大于0，设M₁，M₂的坐标，表示出x₁+x₂和y₁+y₂，设M₃，M₄的坐标把直线y=kx和y=mx+n表示出x₃和x₄，求得x₃+x₄==x₁+x₂，进而求得y₃+y₄=y₁+y₂，推断出ΔOM₁M₂的重心与ΔOM₃M₄的重心重合．

(I)根据图象可知阴影区域左半部分，在y=-kx的下方，在y=kx的上边，
故y的范围可知kx<y<-kx，且x<0，
阴影区域右半部分，在y=kx的下边，y=-kx的上方，x>0
∴W₁={(x，y)|kx<y<-kx,x<0}，W₂={(x，y)|-kx<y<kx，x>0}；
(II)直线l₁：kx-y=0，直线l₂：kx+y=0，
由题意得•=d²，即=d²，
由P(x，y)∈W，知k²x²-y²>0，
∴=d²，即k²x²-y²-(k²+1)d²=0，
∴动点P的轨迹C的方程为k²x²-y²-(k²+1)d²=0；
(Ⅲ)当直线l与x轴垂直时，可设直线l的方程为x=a(a≠0)．
由于直线l，曲线C关于x轴对称，且l₁与l₂关于x轴对称，
于是M₁M₂，M₃M₄的中点坐标都为(a，0)，
∴ΔOM₁M₂，ΔOM₃M₄的重心坐标都为(a，0)，即它们的重心重合，
当直线l₁与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=mx+n(n≠0)．
由，
得(k²-m²)x²-2mnx-n²-k²d²-d²=0
由直线l与曲线C有两个不同交点，可知k²-m²≠0且
Δ=(2mn)²+4(k²-m²)×(n²+k²d²+d²)>0
设M₁，M₂的坐标分别为(x₁，y₁)，(x₂，y₂)，
则，y₁+y₂=m(x₁+x₂)+2n，
设M₃，M₄的坐标分别为(x₃，y₃)，(x₄，y₄)，
由得x₃=，x₄=
从而x₃+x₄==x₁+x₂，
所以y₃+y₄=m(x₃+x₄)+2n=m(x₁+x₂)+2n=y₁+y₂，
于是ΔOM₁M₂的重心与ΔOM₃M₄的重心也重合．

【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生分析推理和数形结合的思想的运用．