如图所示，倾角为θ的“U”型金属框架下端连接一阻值为R的电阻，相互平行的金属杆MN、PQ间距为L，与金属杆垂直的虚线a1b1、a2b2区域内有垂直于框架平面向上的匀强磁场，磁感强度大小为B

Question

如图所示，倾角为θ的“U”型金属框架下端连接一阻值为R的电阻，相互平行的金属杆MN、PQ间距为L，与金属杆垂直的虚线a₁b₁、a₂b₂区域内有垂直于框架平面向上的匀强磁场，磁感强度大小为B，a₁b₁、a₂b₂间距为d，一长为L、质量为m、电阻为R的导体棒在金属框架平面上与磁场上边界a₂b₂距离d处从静止开始释放，最后能匀速通过磁场下边界a₁b₁．重力加速度为g（金属框架摩擦及电阻不计）．求：
（1）导体棒刚到达磁场上边界a₂b₂时速度大小v₁；
（2）导体棒匀速通过磁场下边界a₁b₁时速度大小v₂；
（3）导体棒穿过磁场过程中，回路产生的电能．

Answer 1

（1）由机械能守恒定律得：mgdsinθ=(1)/(2)mv₁²
v₁=√(2gdsinθ)
（2）导体棒匀速通过磁场下边界a₁b₁时，由受力平衡得：mgsinθ=F_安
F_安=BIL=(B2L2v2)/(2R)
解得：v₂=(2mgRsinθ)/(B2L2)
（3）由能量守恒得，回路产生的电能：
E=2mgdsinθ-(1)/(2)mv₂²=2mgdsinθ-(2m3g2R2sin2θ)/(B4L4)
答：（1）导体棒刚到达磁场上边界a₂b₂时速度大小v₁为√(2gdsinθ)；
（2）导体棒匀速通过磁场下边界a₁b₁时速度大小v₂为(2mgRsinθ)/(B2L2)；
（3）导体棒穿过磁场过程中，回路产生的电能2mgdsinθ-(2m3g2R2sin2θ)/(B4L4)．