计算∮Lxds其中L为直线y=x及抛物线y=x2所围成的区域的整个边界．

Question

计算

∮

L

xds其中L为直线y=x及抛物线y=x²所围成的区域的整个边界．

Answer 1

由题意，知L由两部分构成，L₁：y=x，0≤x≤1和L2：y＝x2，0≤x≤1
在L₁时，ds＝√(1+(y′)2)dx＝√(2)dx；在L₂时，ds＝√(1+(y′)2)dx＝√(1+4x2)dx
∴

∮

L

xds＝

∮

L1

xds+

∮

L2

xds=

∫

1 0

x•√(2)dx+

∫

1 0

x√(1+4x2)dx
=

作业帮用户 2016-12-03

问题解析

首先确定L的积分弧段，由两段构成L₁：y=x，0≤x≤1和L2：y＝x2，0≤x≤1；然后分别求出这两段的弧长微分，再求出各自的曲线积分．

名师点评

本题考点：

第一类曲线积分的计算．

考点点评：

此题是考查第一类曲线积分的计算，关键是要把弧长微分ds＝√(x′2+y′2)dx求出来，再求定积分．

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