关于洛必达法则求极限的条件问题课本上洛必达法则的第二个条件是“在a的‘去心’邻域内,分子和分母的导数都存在且分母的导数不为0”,但是为什么lim(sinax)/(sinbx)x趋近于0(b不等于0)可以

Question

关于洛必达法则求极限的条件问题
课本上洛必达法则的第二个条件是“在a的‘去心’邻域内,分子和分母的导数都存在且分母的导数不为0”,但是为什么lim(sinax)/(sinbx) x趋近于0(b不等于0)可以用洛必达呢?明明(sinbx)'=bcosbx在0的“去心”邻域内存在等于0的情况不符合这一条件啊.不知道是哪里理解错了,
…不管3721么?但我还是纠结啊T T是我又钻牛角尖了吧…T T无论如何很感激你这么耐心啊!

Answer 1

导数是不等于0,当x趋于0时,cosbx趋于1,分母的导数趋于b,因此存在一个去心邻域,使得（sinbx)'不等于0,满足条件啊.
三个条件：1、是0/0型的不定式（当然其他的也有对应的要求）
2、分子分母分别可以求导,且分母的导数不为0；
3、lim f'(x)/g'(x)有极限.
这三个条件的验证：1是必须验证的,2是容易验证的；只有3是稍微有点难得.
实际中就是不管3*7=21,尽管分子分母求导下去,直到做到某一步求出极限了,那么,根据定理,前面的等号就是成立,因为三个条件都满足啊.
这就是用洛必达法则得程序.比如上面的题,是0/0型,然后不管2*7=21,求导得
acosax/(bcosbx),到这一步已经出来极限了,是a/b,那么结果就出来了.
于是lim sinax/sinbx=lim acosax/bcosbx=a/b.这就是详细的做题过程.
这个不管2721是指你只管计算下去,知道最后计算出一个极限值.
只要中间的这些极限仍然是0/0型,或者到最后一步得到结果了,那么就可以这么做.