计算二重积分∫∫Dx^2/y^2dxdy,其中D为y=x,yx=1,x=2所围成的区域

Question

计算二重积分 ∫∫D x^2/y^2 dxdy,其中D为y=x,yx=1,x=2所围成的区域

Answer 1

D：y ≤ x、y ≥ 1/x、x ≤ 2

∫∫ x²/y² dxdy

= ∫(1→2) dx ∫(1/x→x) x²/y² dy

= ∫(1→2) x² * (- 1/y)：(1/x→x) dx

= ∫(1→2) x² * [(- 1/x) - (- x)] dx

= ∫(1→2) x² * (x - 1/x) dx

= ∫(1→2) (x³ - x) dx

= (1/4 * x⁴ - 1/2 * x²)：(1→2)

= (1/4 * 16 - 1/2 * 4) - (1/4 - 1/2)

= 9/4