无界函数反常积分（瑕积分）是否包含（a,b）的情形?就是能否在开区间取积分?

Question

无界函数反常积分（瑕积分）是否包含（a,b）的情形?
就是能否在开区间取积分?

Answer 1

界函数反常积分（瑕积分）是否包含（a,b）
因为f(x)在[a,b]上连续,必可在这区间上取得最大值M有最小值m,即对一切x∈[a,b],有m≤f(x)≤M
所以m≤f(xi)≤M（i=1,2,…,n）
因为m=nm/n≤[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)]/n≤nM/n=M
由介值定理,存在ξ∈[a,b],使f(ξ)=[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)]/n.