计算二重积分∬Dexxydxdy，其中D是以曲线y＝x，y＝1x及y轴为边界的无界区域．

Question

计算二重积分

∬

D

e^xxydxdy，其中D是以曲线y＝√(x)，y＝(1)/(√(x))及y轴为边界的无界区域．

Answer 1

∵D={（x，y）|0＜x＜1，√(x)＜y(1)/(√(x))}
∴

∫∫

D

exxydxdy＝

lim

x→0+

∫

1 0

exxdx

∫	(1)/(√(x)) √(x)

ydy=

lim

x→0+

∫

1 0

(1)/(2)exx•((1)/(x)−x)dx
=(1)/(2)

lim

x→0+

∫

1 0

(1−x2)exdx=(1)/(2)

lim

x→0+

[

∫

1 0

exdx−

∫

1 0

x2exdx]
=

作业帮用户 2017-11-10

问题解析

首先将无界区域D表示出来，根据二重积分的计算法，将其化成二次积分，再利用瑕积分的计算方法，计算出结果．

名师点评

本题考点：

二重积分的计算；有界区域与无界区域．

考点点评：

虽然此题是无界区域的积分，但最后化成瑕积分之后，计算出的结果却与是否取极限无关，但并不能因此，就不采用瑕积分的计算法．

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