无界量与无穷大量是什么异同（共同点和不同的）?数分题学霸们详细一点的告诉一下

Question

无界量与无穷大量是什么异同（共同点和不同的）? 数分题 学霸们 详细一点的告诉一下

Answer 1

从定义入手很容易看出这二者的区别与联系,无穷大量就是以无穷大为极限的数列,按照数列极限的定义,就是说对任意M>0,存在N,使得n>N时就有|xn|>M.而对于无界,可以由有界的定义得出,数列xn有界是说存在M>0,对任意的n,有|xn|≤M,根据对偶法则,相应的无界定义就是,对任意的M>0,存在n,使得|xn|>M.对比这二者的定义,可以发现它们都是要求数列的某些项能大于任意给定的实数,但二者的区别在于,无穷大量要求在该数列某一项之后的所有项,都要大于给定的M,而无界量没有这个要求,形象的说就是无界量可以“波动着”增大.从定义可以看出,无穷大量一定是无界的,但无界量不一定是无穷大量,也就是说无穷大是比无界更“强”的概念.例如xn=nsinn是无界量但不是无穷大量.另外多说一点就是,有一个比较深刻的定理：在一个无界但非无穷大的数列中,至少存在这样两个子列,其中一个子列发散到无穷大,另一个子列收敛.这定理揭示了无穷大、无界、收敛之间的某种联系,感兴趣的话你可以自己证明一下.