有没有数列单调有界准则的严格证明（不是几何的）介绍几本关于实数论与数论的名著

Question

有没有数列单调有界准则的严格证明（不是几何的）
介绍几本关于实数论与数论的名著

Answer 1

准则：单调有界数列必有极限
证明：不妨设数列{xn}单增（减）,且｛xn}有界,则根据确界存在定理{xn}有唯一上（下）确界M（m).下面证明limxn=M(limxn=m的证明类似）.
因为sup{xn}=M,所以任给小正数t,存在某个正整数N使xN>M-t.又xn递增,所以当n>N时,M>=xn>xN>M-t,因此-t