已知二阶线性齐次微分方程y″+P（x）y′-ycos2x=0有两个互为倒数的特解．（1）求P（x）；（2）求原方程的通解．

Question

已知二阶线性齐次微分方程y″+P（x）y′-ycos²x=0有两个互为倒数的特解．
（1）求P（x）；
（2）求原方程的通解．

Answer 1

（1）∵二阶线性齐次微分方程的两个特解互为倒数
∴这两个特解不为零且同号
而根据齐次方程解的齐次性，可以认为这两个特解都是正的，从而假设这两个解为
y1＝eα(x)，y2＝e−α(x)
将y₁，y₂代入y″+P（x）y′-ycos²x=0，得
α″+（α′）²+Pα′-cos²x=0  …①
-α″+（α′）²-Pα′-cos²x=0…②
∴①+②得：
（α′）²=cos²x，即α′=±cosx，即α=±sinx
①-②得：
α″+Pα′=0，将α=±sinx代入，解得：
P（x）=tanx
（2）由（1）求出的α=±sinx
∴y″+P（x）y′-ycos²x=0的两个特解为：
y1＝esinx，y2＝e−sinx这是两个线性无关的解
因此y″+P（x）y′-ycos²x=0的通解为：
y＝c1esinx+c2e−sinx，其中c₁、c₂为任意常数．