线性代数线性相关性的问题~设非零向量β可由α1,α2,……,αr线性表示,但不能由α1,α2,……,αr-1线性表示,试证向量组α1,α2,……,αr-1,β和α1,α2,……,αr等价.

Question

线性代数线性相关性的问题~
设非零向量β可由α1,α2,……,αr线性表示,但不能由α1,α2,……,αr-1线性表示,试证向量组α1,α2,……,αr-1,β和α1,α2,……,αr等价.

Answer 1

证明:由已知β可由α1,α2,……,αr线性表示
所以 向量组α1,α2,……,αr-1,β可由α1,α2,……,αr线性表示.
再由已知,存在k1,...,kr 使得 β=k1α1+...+krαr,且kr≠0.
所以 αr = (1/kr)(β-k1α1-...-km-1αm-1)
故 αr可由α1,α2,……,αr-1,β线性表示.
所以 向量组α1,α2,……,αr可由α1,α2,……,αr-1,β线性表示.
所以向量组α1,α2,……,αr-1,β和α1,α2,……,αr等价.