设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组Akx=0有解向量α，且Ak-1α≠0，证明：向量组α，Aα，…，Ak-1α是线性无关的．

Question

设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组A^kx=0有解向量α，且A^k-1α≠0，证明：向量组α，Aα，…，A^k-1α是线性无关的．

Answer 1

证明：设有常数λ₀，λ₁，…，λ_k-1使得
λ0

α

+λ1A

α

+…+λk−1Ak−1

α

＝0
则有 Ak−1(λ0

α

+λ1A

α

+…+λk−1Ak−1

α

)＝0，
从而λ0Ak−1

α

＝0．
由题设A^k-1x≠0，所以λ₀=0．
类似地可证明λ₁=λ₂=…=λ_k-1=0，
所以向量组

α

，A

α

，…，A^k-1

α

是线性无关的