方程x2-8[x]+7=0的所有解的平方和等于．

Question

方程x²-8[x]+7=0的所有解的平方和等于______．

Answer 1

由[x]的定义，可得8x≥8[x]=x²+7，
所以x²-8x+7≤0，
解此不等式得：
1≤x≤7．
现把x的取值范围分成：7个小区间（分类）来进行求解．
（1）当1≤x＜2时，原方程为x²+7=8，
解得x=±1，
所以x=1，（因x=-1不满足1≤x＜2）．
（2）当2≤x＜3时，原方程为x²=16，
解得：x=±3，（x=±3不在2≤x＜3范围内舍去）；
（3）当3≤x＜4时，原方程为x²+7=8×3，
解得：x=±√(17)．（不合题意舍去）
（4）当4≤x＜5时，原方程为x²+7=8×4，
x=±5，（不合题意舍去）；
（5）当5≤x＜6时，原方程为x²+7=8×5，
x=±√(33)，（x=-√(33)，不合题意舍去）
∴x=√(33)；
（6）当6≤x＜7时，原方程为x²+7=8×6，
x=±√(41)，（x=-√(41)，不合题意舍去），
∴x=√(41)，
（7）当x=7时，满足原方程．
∴原方程的解为：1，√(33)，√(41)，7，
∴所有解的平方和等于：1²+（√(33)）²+（√(41)）²+7²=124．
故答案为：124．