下列方程组无解有唯一解无穷解a取什么值ax+b+c=1x+ab+c=ax+b+ac=a^2

Question

下列方程组无解 有唯一解 无穷解 a取什么值
ax+b+c=1
x+ab+c=a
x+b+ac=a^2

Answer 1

经典题目.
λ取何值时非齐次线性方程组有唯一解,无解,有无穷解
λX1+X2+X3=1
X1+λX2+X3=λ
X1+X2+λX3=λ^2
方法一
增广矩阵为
λ 1 1 1
1 λ 1 λ
1 1 λ λ^2
r1-λr2,r2-r3
0 1-λ^2 1-λ 1-λ^2
0 λ-1 1-λ λ(1-λ)
1 1 λ λ^2
r1+(λ+1)r2
0 0 (1-λ)(2+λ) (1-λ)(1+λ)^2
0 λ-1 1-λ λ(1-λ)
1 1 λ λ^2
r1r3
1 1 λ λ^2
0 λ-1 1-λ λ(1-λ)
0 0 (1-λ)(2+λ) (1-λ)(1+λ)^2
所以,
当λ≠1 且λ≠-2 时,r(A)=r(增广矩阵)=3,方程组有唯一解.
当λ=-2 时,r(A)=2,r(增广矩阵)=3,方程组无解.
当λ=1 时,r(A)=1=r(增广矩阵)
1 1 1 1
0 0 0 0
0 0 0 0
通解为:(1,0,0)'+c1(-1,1,0)'+c2(-1,0,1)'
当λ=-2时,增广矩阵为
-2 1 1 1
1 -2 1 -2
1 1 -2 4
r3+r1+r2
-2 1 1 1
1 -2 1 -2
0 0 0 3
此时方程组无解.
[注:此方法只在方程组的方程个数与未知量个数相同时才能用]