如图，四边形ABCD是直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=12．（1）求SC与平面ASD所成的角余弦；（2）求平面SAB和平面SCD所成角的余弦．

Question

如图，四边形ABCD是直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=(1)/(2)．

（1）求SC与平面ASD所成的角余弦；
（2）求平面SAB和平面SCD所成角的余弦．

Answer 1

（1）作CE∥AB交AD的延长线于E，
∵AB⊥AD，
∴CE⊥AD．
又∵SA⊥面ABCD，
∴CE⊥SA，SA∩AD=A，
∴CE⊥面SAD，SE是SC在面SAD内的射影，
∴∠CSE=θ是SC与平面ASD所成的角，
易得SE=√(2)，SC=√(3)，
∴在Rt△CES中，cosθ=(CE)/(SC)=(√(6))/(3)
（2）由SA⊥面ABCD，知面ABCD⊥面SAB，
∴△SCD在面SAB的射影是△SAB，
而△SAB的面积S₁=(1)/(2)×SA×AB=(1)/(2)，
设SC的中点是M，∵SD=CD=(√(5))/(2)，
∴DM⊥SC，DM=(√(2))/(2)
∴△SCD的面积S₂=(1)/(2)×SC×DM(√(6))/(4)
设平面SAB和平面SCD所成角为φ，
则由面积射影定理得cosφ=(S△SAB)/(S△SCD)=(√(6))/(3)