如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAB为等边三角形，底面ABCD为正方形，O为AB中点，PO⊥AC．（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面ABCD；（Ⅱ）求PC与平面ABCD所成角的大小；（Ⅲ）求二面角P-AC-B的大小．

Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAB为等边三角形，底面ABCD为正方形，O为AB中点，PO⊥AC．

（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求PC与平面ABCD所成角的大小；
（Ⅲ）求二面角P-AC-B的大小．

Answer 1

（Ⅰ） ∵△PAB为等边三角形，O为AB中点，
∴PO⊥AB．
又PO⊥AC，
∴PO⊥平面ABCD．
又PO⊂平面PAB，
∴平面PAB⊥平面ABCD．
（Ⅱ） ∵PO⊥平面ABCD．
∴∠PCO为直线PC与平面ABCD所成的角．
设底面正方形边长为2，
则PO=√(3)，CO=√(5)，
∴tanPCO=(PO)/(CO)=(√(15))/(5)．
∴直线PC与平面ABCD所成的角大小为arctan(√(15))/(5)．
（Ⅲ） 过O做OE⊥AC，垂足为E，连接PE．
∵PO⊥平面ABCD，
∴PE⊥AC．
∴∠PEO为二面角B-AC-P的平面角．
设底面正方形边长为2，可求得OE=(√(2))/(2)．
又PO=√(3)，
∴tanPEO=(PO)/(OE)=√(6)．
∴二面角B-AC-P的大小为arctan√(6)．