空间3个面两两垂直的四面体侧面与底面夹角分别为α，β，γ，请证明三个角的余弦值的平方的和等于1

Question

空间3个面两两垂直的四面体侧面与底面夹角分别为α，β，γ，请证明三个角的余弦值的平方的和等于1

Answer 1

设四面体A-BCD中，AB⊥AC，AC⊥AD，AD⊥AB。并设AB=a，AC=b，AD=c。 过点A作平面BCD上的垂线，垂足为点O。连接BO并延长交CD于点M，连接AM；连接CO并延长交BD于点N，连接AN；连接DO并延长交BC于点P，连接AP。 因BA⊥平面CAD，故BA⊥CD，又AO⊥CD，故CD⊥平面ABM，故AM⊥CD，BM⊥CD，则