从同一点P引出的三条射线PA,PB,PC两两所成的角的大小为60°,求直线PC与平面PAB所成角的大小.

Question

从同一点P引出的三条射线PA,PB,PC两两所成的角的大小为60°,求直线PC与平面PAB所成角的大小.

Answer 1

特殊取法,设三角形PAB,PAC,PBC均为正三角形,那么它们全等.取PB中点D,则AD,CD均垂直于PB.问题转化为三角形ACD中求角ADC的正弦值.答案:2/3乘根号2
可以用三余弦定理
设∠APB角平分线是PQ
则cos∠CPQ=cos∠CPA*cos∠APQ
=cos60度*cos30度
=√3/4
取三条射线等长,长度=a.连接PA,PB,PC.则P-ABC构成一个三凌锥.
由于三个侧面的顶角都是60度,所以三个侧面都是全等的等边三角形,可推出底面三角形也是全等等边三角形.
过AB作CD垂直AB边交AB于D点,连接PD,则PD也垂直AB（D是AB中点）,所以AB垂直平面PCD,而AB是平面PAB的一条边,所以面PCD垂直于面PAB,故PD是PC的投影,PC与平面APB所成的角就是角CPD.
在三角形PCD中,由于PC=a,所以CD=PD=asin60度,求得三角形APC顶角CDP的余弦=1/3.
这样所求的角CPD=(180度-角CDP）/2