将一个变长为1的正四面体切成两个完全相同的部分,则切面的最大面积是多少?

Question

将一个变长为1的正四面体切成两个完全相同的部分,则切面的最大面积是多少?

Answer 1

由正四面体的性质可知,有两种分割方法
图一：四棱中位线法.
如图,取一对对棱以外的四条棱中点,连接以后,构成一个正方形.
正方形的证明可以通过中位线与底边平行、对棱互相垂直证得.
所以面积为 1/2 X 1/2 = 1/4
图二：取顶点和底面一条边的中线（高、角平分线）分割
因为底面是正三角形,所以CE=AE=√3/2,
在等腰三角形ACE中,以AC为底,则E点到AC的距离就是高.设为h.
则AC中点与E的距离就是h
按照勾股定理,h^2+(AC/2)^2=(√3/2)^2 所以h=√2/2
所以截面积=1/2 X √2/2X√3/2=√6/8
由此可见,图二的分割面积大,为√6/8.