一个简单的积分,积分（a+x^2)^(3/2)dx还有：积分（a+x^2)^(-3/2)dx

Question

一个简单的积分,
积分（a+x^2)^(3/2) dx
还有：积分（a+x^2)^(-3/2) dx

Answer 1

求不定积分：∫[(a+x²)^(3/2)]dx
原式=[a^(3/2)]∫[(1+x²/a)^(3/2)]dx (a>0)
令x/√a=tanu,则x=(√a)tanu,dx=(√a)sec²udu,代入原式得：
原式=[a^(3/2)]∫[(1+tan²u)^(3/2)](√a)sec²udu=(a²)∫[(secu)^5]du=(a²)∫du/[(cosu)^5]
=(a²)[sinu/(4cos⁴u)+(3/4)∫du/cos³u]=(a²){sinu/(4cos⁴u)+(3/4)[sinu/(2cos²u)+(1/2)∫du/cosu]}
=a²sinu/(4cos⁴u)+(3a²/4){sinu/(2cos²u)+(1/2)[ln(secu+tanu)]}+C
然后将tanu=x/√a,sinu=x/√(a+x²),cosu=√[a/(a+x²)],secu=√[(a+x²)/a],代入,化简即可.
这里用了一个递推公式：∫du/(cosⁿu)=sinu/[(n-1)cosⁿֿ¹u]+[(n-2)/(n-1)]∫du/(cosⁿֿ²u)
此公式的证明很麻烦,即使写出来也看不清楚,故不作证明,请查看内容较多的“积分公式”手册.
第二题：
求不定积分：∫dx/(a+x²)^(3/2)
原式=[a^(-3/2)]∫dx/[1+(x/√a)²]^(3/2)
令x/√a=tanu,则x=(√a)tanu,dx=(√a)sec²udu,代入原式得：
原式=[a^(-3/2)]∫(√a)sec²udu/sec³u=(1/a)∫du/secu=(1/a)∫cosudu=(1/a)sinu+C=(1/a)[x/√(a+x²)+C