高数达人请进!已知函数:y=(x-1)2(x-3)2（两个2是平方）问：如何得出：该曲线对称于直线x=2,再得出：它要么没有拐点,要么只有两个拐点.

Question

高数达人请进!
已知函数:y=(x-1)2(x-3)2 （两个2是平方）
问：
如何得出：该曲线对称于直线x=2,再得出：它要么没有拐点,要么只有两个拐点.

Answer 1

1）令t=x-2,则y=(t+1)^2×(t-1)^2=(t^2-1)^2,它在正负t处的值相等,所以它是关于t的偶函数,因而其图形关于t=0或x=2对称.
2）函数关于x=2对称,因此它在x=2处取到极值1,x=2处不是拐点.所以其拐点一定是成对出现的,拐点关于x=2对称出现.又因为可导函数拐点处二阶导数为0,而该函数为4次,二阶导数是2次,所以最多有两个根.因此,最多两个拐点.