定义：对于区间I内可导的函数y=f(x)，若∃，使，则称为函数y=f(x)的新驻点．已知函数．(Ⅰ)若函数y=f(x)存在新驻点，求新驻点，并求此时a的值；(Ⅱ)若f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Question

定义：对于区间I内可导的函数y=f(x)，若∃，使，则称为函数y=f(x)的新驻点．已知函数．
(Ⅰ)若函数y=f(x)存在新驻点，求新驻点，并求此时a的值；
(Ⅱ)若f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．____

Answer 1

【分析】(Ⅰ)先求导数f'(x)=a^xlna-1，由题意得①，②，两式联立即可得到．
\n(Ⅱ)f(x)=a^x-x≥0⇔a^x≥x，下面分类讨论：(i)x≤0时，显然恒成立，(ii)x>0时，设，则，利用导数研究其单调性即可求实数a的取值范围．

(Ⅰ)∵f(x)=a^x-x，
\n∴f'(x)=a^xlna-1，
\n由题意得①，②
\n由①得，代入②得x₀=log_ae，即③
\n代入①得x₀=e，
\n∴a^e=e，
\n∴．
\n(Ⅱ)f(x)=a^x-x≥0⇔a^x≥x，
\n(i)x≤0时，显然恒成立，
\n(ii)x>0时，，
\n设，则，g'(e)=0，
\n当x∈(0，e)时，g'(x)>0，g(x)递增，
\n当x∈(e，+∞)时，g'(x)<0，g(x)递减，，
\n∴，
\n∴．

【点评】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．