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微分方程y‘+y/x=1/[x(x^2+1)]的通解是?
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微分方程y‘+y/x=1/[x(x^2+1)]的通解是?
▼优质解答
答案和解析
先求解齐次方程：y' +y/x=0 分离变量,得：
dy/y= -dx/x
ln|y|=-ln|x|+C1
xy=C2 (e^C1=C2) 所以齐次方程通解为：y=C2/x
再求解非齐次方程：y'+y/x=1/[x(x^2+1)]
采用常数变易法,令y=u/x,代人原方程,得：
u'/x=1/[x(x^2+1)]
u'=1/(x^2+1)
u(x)=arctanx+C
所以原方程的通解为：
y=(arctanx+C) /x
dy/y= -dx/x
ln|y|=-ln|x|+C1
xy=C2 (e^C1=C2) 所以齐次方程通解为：y=C2/x
再求解非齐次方程：y'+y/x=1/[x(x^2+1)]
采用常数变易法,令y=u/x,代人原方程,得：
u'/x=1/[x(x^2+1)]
u'=1/(x^2+1)
u(x)=arctanx+C
所以原方程的通解为：
y=(arctanx+C) /x
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