[(1+x)的1/x次方－e]/x当x趋近于0时,求极限高等数学极限问题

Question

[(1+x)的1/x次方－e]/x当x趋近于0时,求极限
高等数学极限问题

Answer 1

1L犯了个错,(e')=0不是1（e是个常数,求导自然是0）
lim [(1+x)^(1/x)-e]/x
=lim [e^(ln(1+x)/x)-e]/x
=lim (e^ln(1+x)/x)*(x/(1+x)-ln(1+x))/x^2) / 1 （洛必达法则）
=lim ((1+x)^(1/x))*(x-(x+1)ln(x+1))/((x^2(x+1))
=lim e*(x-(x+1)ln(x+1))/x^2 （ (1+x)^(1/x)->e ,x+1->1）
=lim e*(1-(1+ln(x+1))/(2x)
=lim e*(-ln(x+1))/(2x)
=lim e*(-1/2) （ln(x+1)~x）
=-e/2