能求出极限,极限就一定存在吗,有没有反例,请举例说明,

Question

能求出极限,极限就一定存在吗,有没有反例,请举例说明,

Answer 1

不知道你说的能求出极限是什么意思?如果你真的求出一个极限,它就当然是极限了.我猜你问的可能是如果求出一个可能是极限的数,那么这个数是不是一定是极限,答案是否定的.看下例：
数列a(n),首项为2,递推公式为：
a(n+1) = a(n)的平方
显然这个数列没有极限,但是有一个通常的求“极限”的办法,那就是假设该数列极限为A,那么由于极限必然是唯一的,所以A必须满足递推公式：
A = A^2,解出A = 0或1,但在这里,显然0,1都不是极限.之所以这个办法不奏效,原因就在于这里的极限是无穷大,对无穷大而言,是不能用A = A^2的.
实际上,即便如果还你能证明数列本身是有界的,上述求所谓极限的办法求出来的也可能不是极限,考虑a(n+1) = sin(a(n))就会知道,这个数列虽然总是有界但不存在极限,而A = sinA却能给你求出一个解A = 0（这点你画图可以看到）,显然0不是真的极限.
这种办法要有效,必须首先证明数列是单调有界的才行.因为单调有界数列必存在有限的极限,知道它存在了才能求嘛.
正确的顺序是证明存在极限然后求极限,不是反过来.不能先假设有极限然后去求它.当然,你可以用A这个办法求出所有可能是极限的数,然后一个一个验证看是不是真的极限,这么做也是可以的.只是很麻烦而已,比如你碰到三角函数,那么多解你也要一个个验证吗?大学里有统一的极限定义,还有柯西条件这个很好的办法,直接用它们去证明就可以了,这个你以后会学到的.