一个球,半径为r,落在一个空里,空的直径D小于2r,求:落在空里的球的表面积.

Question

一个球,半径为r,落在一个空里,空的直径D小于2r,求:落在空里的球的表面积.

Answer 1

首先说明要用球冠面积公式,推导如下：
假定球冠最大开口部分圆的半径为 r ,对应球半径 R 有关系：r = Rcosθ,则有球冠积分表达：
球冠面积微分元 dS = 2πr*Rdθ = 2πR^2*cosθ dθ
积分下限为θ,上限π/2
所以：S = 2πR*R(1 - sinθ)
其中：R(1 - sinθ)即为球冠的自身高度h
所以：S = 2πRh
落在空里的面积公式是S=2πrh（h指的是落在空里的球的高度）
h=r - 根号下[r^2 -(D/2)^2 ]