有一半径为2厘米的实心玻璃球，球内有一小气泡，当观察者的眼、球心和气泡在同一直线上时，观察到气泡距球面1厘米，求此气泡到球面的真实距离。玻璃的折射率为1.5。

Question

有一半径为2厘米的实心玻璃球，球内有一小气泡，当观察者的眼、球心和气泡在同一直线上时，观察到气泡距球面1厘米，求此气泡到球面的真实距离。玻璃的折射率为1.5。____

Answer 1

【分析】人眼看到气泡是因为从气泡发出的光线经过玻璃折射，其折射光线进入人眼，由光的直线传播原理可知人所看到的为气泡在玻璃中所成的像，做出光路图。可假设人眼在折射光线的方向上进行观察，则由折射定律可确定入射角与折射角的关系。因为题中涉及到的入射角i无直角三角形，所以由三角形中正弦定理可表示角与边的关系，通过数学变形可求得实际高度与题中已知量的关系式，即可得气泡的具体位置。

如下图：

设S为气泡的真实位置，S'为气泡的像，O为球心，OA为半径R=2厘米，AS'=h=1厘米，令AS=x。
\n设想人眼从斜上方F点观察，由折射定律：
\n　　
\n在△SOB中有：
\n　　　①
\n在△S'OB中有：
\n　　　②
\n①、②两式展开化简得：
\n　　sini(R+Rcosθ+xcosθ)=(R-x)cosisinθ　③
\n　　sinγ(R-Rcosθ+hcosθ)=(R-h)cosγsinθ　④
\n③、④两式相除，
\n　　　⑤
\n当观察点F移向正上方时，，，tani≈sini，tanγ≈sinγ，⑤式可化简为：
\n　　
\n即：
\n　　
\n代入数据，计算得气泡到球面的实际距离为：
\n　　x=1.2厘米

【点评】本题的难点在于如何做光路图，实际上题中光路图并不是按照题目中所说而做，而是由人眼观察物体的原理而做，之后通过数学知识的应用，才达到题中的光路图要求。
\n对于几何光学做光路图后结合数学知识进行求解是常用的方法之一，而所用数学知识多为三角形中的边角关系，如果是直角三角形则可以用边来表示角的某一三角函数值，如果不是直角三角形，则需要用到如正弦定理，余弦定理，大边对大角等知识进行分析求解。