如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1D⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱A1A=2，（Ⅰ）证明：AC⊥A1B；（Ⅱ）求几何体C1DABA1的体积．

Question

如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁D⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱A₁A=2，
（Ⅰ）证明：AC⊥A₁B；
（Ⅱ）求几何体C₁DABA₁的体积．

Answer 1

证明：（Ⅰ）连接BD交AC于点O
∵四边形ABCD是正方形∴AC⊥BD
又∵AD₁⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD
∴AC⊥A₁D，A₁D∩BD=D∴AC⊥平面A₁BD，A₁B⊂平面A₁BD
∴AC⊥A₁B…（5分）
（Ⅱ）VC1DABA1＝VC1−A1BD+VA1−ABD
∵AD₁⊥平面ABCD∴AD₁为几何体A₁-ABD的高
∴VC1−A1BD＝(1)/(3)AD1•S△ABD＝(1)/(3)×√(3)×(1×1)/(2)＝(√(3))/(6)…（7分）
∵四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁∴CC₁∥AA₁，CC₁=AA₁
∴四边形A₁C₁CA是平行四边形
∴AC∥A₁C₁由（1）得AC⊥平面A₁BD∴A₁C₁⊥平面A₁BD
∴A₁C₁为几何体C₁-A₁BD的高
∵AD₁⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD
∴BD⊥A₁D
∴VC1−A1BD＝(1)/(3)A1C1•S△A1BD＝(1)/(3)×√(2)×(√(3)×√(2))/(2)

作业帮用户 2017-10-29