已知正四棱锥的侧棱长为23，那么当该棱锥体积最大时，它的高为（）A．1B．3C．2D．3

Question

已知正四棱锥的侧棱长为2√(3)，那么当该棱锥体积最大时，它的高为（　　）

A．1
B．√(3)
C．2
D．3

Answer 1

设底面边长为a，则高h=√((2√(3))2−((√(2)a)/(2))2)=√(12−(a2)/(2))，
所以体积V=(1)/(3)a²h=(1)/(3)√(12a4−(1)/(2)a6)，
设y=12a⁴-(1)/(2)a⁶，则y′=48a³-3a⁵，
y′=48a³-3a⁵=0，
解可得a=4，
且当a＞4时，y′≤0，函数y=12a⁴-(1)/(2)a⁶，在区间（4，+∞）是减函数；
当0＜a＜4时，y′＞0，函数y=12a⁴-(1)/(2)a⁶，在区间（0，4）是增函数；
∴当a=4时，函数y=12a⁴-(1)/(2)a⁶，取得最大值，即此时体积最大，
此时h=√(12−(a2)/(2))=2，
故选C．