（2012•江西）在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=AC=AA1=5，BC=4，在A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O．（1）证明在侧棱AA1上存在一点E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的长；（2）求平面A1B1C与平面BB1C1C

Question

（2012•江西）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=AC=AA₁=√(5)，BC=4，在A₁在底面ABC的投影是线段BC的中点O．
（1）证明在侧棱AA₁上存在一点E，使得OE⊥平面BB₁C₁C，并求出AE的长；
（2）求平面A₁B₁C与平面BB₁C₁C夹角的余弦值．

Answer 1

（1）证明：连接AO，在△AOA₁中，作OE⊥AA₁于点E，因为AA₁∥BB₁，所以OE⊥BB₁，
因为A₁O⊥平面ABC，所以BC⊥平面AA₁O，所以BC⊥OE，
所以OE⊥平面BB₁C₁C，又AO=√(AB2−BO2)=1，AA₁=√(5)，
得AE=(AO2)/(AA1)=(√(5))/(5)，
（2）如图，分别以OA，OB，OA₁所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，-2，0），A₁（0，0，2）
由

AE

＝(1)/(5)

AA1

，得点E得坐标是（(4)/(5)， 0，(2)/(5)），
设平面A₁B₁C的法向量是

n

=（x，y，z），由

作业帮用户 2017-10-08

问题解析

（1）连接AO，在△AOA₁中，作OE⊥AA₁于点E，则E为所求．可以证出OE⊥BB₁，BC⊥OE而得以证明．在RT△A₁OA中，利用直角三角形射影定理得出AE．
（2）如图，分别以OA，OB，OA₁所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面A₁B₁C的法向量是

n

=（x，y，z），利用

OE

，

n

夹角求平面A₁B₁C与平面BB₁C₁C夹角的余弦值．

名师点评

本题考点：

二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．

考点点评：

本题考查空间直线和平面位置关系的确定，要熟练掌握应用空间有关的性质、定理；还考查了二面角大小求解，本题具有建立空间直角坐标系的良好空间特征，故用向量法为宜．

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