平面上5个圆最多能把平面分成多少个部分？一般地，n个圆最多能把平面分成多少个部分？

Question

平面上5个圆最多能把平面分成多少个部分？一般地，n个圆最多能把平面分成多少个部分？

Answer 1

一个圆最多能把平面分成2个部分，
2个圆最多能把平面分成4个部分；
3个圆最多能把平面分成8个部分；
现在加入第4个圆，为了使分成的部分最多，第4个圆必须与前面3个圆都有两个交点，
如图所示，因此得6个交点将第4个圆的圆周分成6段圆弧，而每一段圆弧将原来的部分一分为二，即增加了一个部分，于是4个圆最多将平面分成8+6=14个部分，
同理，5个圆最多将平面分成14+8=22个部分，
一般地，n个圆最多分平面为：
2+1×2+2×2+…+（n-1）×2，
=2+2[1+2+…+（n-1）]，
=n²-n+2．