在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，若直线l的参数方程为x=cosαy=y0+tsinα（t为参数，α为l的倾斜角），曲线E的极坐标方程为ρ=4sinθ．射线θ=β，θ=

Question

在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，若直线l的参数方程为

x=cosα

y=y0+tsinα

（t为参数，α为l的倾斜角），曲线E的极坐标方程为ρ=4sinθ．射线θ=β，θ=β+(π)/(4)，θ=β-(π)/(4)与曲线E分别交于不同于极点的三点A、B、C．
（1）求证：|OB|+|OC|=√(2)|OA|；
（2）当β=(7π)/(12)时，直线l过B、C两点，求y₀与α的值．

Answer 1

（1）证明：由题意可知丨OA丨=4sinβ，丨OB丨=4sin（β+(π)/(4)），丨OC丨=4sin（β-(π)/(4)），
则丨OB丨+丨OC丨=4sin（β+(π)/(4)）+4sin（β-(π)/(4)）=4√(2)sinβ=√(2)丨OA丨，
（2）当β=(7π)/(12)时，B点的极坐标为（4sin（(7π)/(12)+(π)/(4)），（(7π)/(12)+(π)/(4)）），
C的极坐标为（4sin（(7π)/(12)-(π)/(4)），（(7π)/(12)+(π)/(4)）），
转化成直角坐标B（-√(3)，1），C（√(3)，3），
则直线l的方程为x-√(3)y+2√(3)=0，
则y₀=2，α=(π)/(6)．