在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0，2π）．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）在曲线C上求一点D，使它到

Question

在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0，2π）．
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）在曲线C上求一点D，使它到直线l：

x=√(3)t+√(3)

y=-3t+2

（t为参数，t∈R）的距离最短，并求出点D的直角坐标．

Answer 1

（I）∵ρ=2sinθ，∴ρ²=2ρsinθ，
∴曲线C的直角坐标方程为x²+y²=2y．
（II）直线l的普通方程为√(3)x+y-5=0．
曲线C的参数方程为

x=cosα

y=1+sinα

（α为参数）．
∴设D（cosα，1+sinα）．
则D到直线l的距离d=(|√(3)cosα+sinα-4|)/(2)=2-sin（α+(π)/(3)）．
∴当α=(π)/(6)时，d取得最小值1．
此时D点坐标为（(√(3))/(2)，(3)/(2)）．