设A，B为曲线C：y=x24上两点，A与B的横坐标之和为4．（1）求直线AB的斜率；（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．

Question

设A，B为曲线C：y=(x2)/(4)上两点，A与B的横坐标之和为4．
（1）求直线AB的斜率；
（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．

Answer 1

（1）设A（x₁，(x12)/(4)），B（x₂，(x22)/(4)）为曲线C：y=(x2)/(4)上两点，
则直线AB的斜率为k=((x12)/(4)-(x22)/(4))/(x1-x2)=(1)/(4)（x₁+x₂）=(1)/(4)×4=1；
（2）设直线AB的方程为y=x+t，代入曲线C：y=(x2)/(4)，
可得x²-4x-4t=0，即有x₁+x₂=4，x₁x₂=-4t，
再由y=(x2)/(4)的导数为y′=(1)/(2)x，
设M（m，(m2)/(4)），可得M处切线的斜率为(1)/(2)m，
由C在M处的切线与直线AB平行，可得(1)/(2)m=1，
解得m=2，即M（2，1），
由AM⊥BM可得，k_AM•k_BM=-1，
即为((x12)/(4)-1)/(x1-2)•((x22)/(4)-1)/(x2-2)=-1，
化为x₁x₂+2（x₁+x₂）+20=0，
即为-4t+8+20=0，
解得t=7．
则直线AB的方程为y=x+7．