已知椭圆的一个焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，且截抛物线的准线所得弦长为，倾斜角为45°的直线l过点F，（Ⅰ）求该椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆的另一个焦点为F1，问抛物线y2=4x

Question

已知椭圆 的一个焦点F与抛物线y ² =4x的焦点重合，且截抛物线的准线所得弦长为 ，倾斜角为45°的直线l过点F，
（Ⅰ）求该椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆的另一个焦点为F ₁ ，问抛物线y ² =4x上是否存在一点M，使得M与F ₁ 关于直线l对称，若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由。

Answer 1

已知椭圆 的一个焦点F与抛物线y ² =4x的焦点重合，且截抛物线的准线所得弦长为 ，倾斜角为45°的直线l过点F，
（Ⅰ）求该椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆的另一个焦点为F ₁ ，问抛物线y ² =4x上是否存在一点M，使得M与F ₁ 关于直线l对称，若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由。

（1）抛物线y ² =4x的焦点为F（1，0），准线方程为x=-1，
∴ ，①
又椭圆截抛物线的准线x=-1所得弦长为 ，
∴得上交点为 ，
∴ ，②
由①代入②得 （舍去），
从而 ，
∴该椭圆的方程为该椭圆的方程为 ；
（2）∵倾斜角为45°的直线l过点F，
∴直线l的方程为 ，
由（1）知椭圆的另一个焦点为 ，
设 与F ₁ 关于直线l对称，
则得 ，
又M（1，-2）满足y ² =4x，
故点M在抛物线上。
所以抛物线y ² =4x上存在一点M（1，-2），使得M与F ₁ 关于直线l对称。