（2014•江苏模拟）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，点A在抛物线C上，设以F为圆心，FA为半径的圆F交准线l于M，N两点．（1）若∠MFN=90°，且△AMN的面积为42，求p的值；（2）若

Question

（2014•江苏模拟）已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，点A在抛物线C上，设以F为圆心，FA为半径的圆F交准线l于M，N两点．
（1）若∠MFN=90°，且△AMN的面积为4√(2)，求p的值；
（2）若A，F，M三点共线于直线m，设直线m与抛物线C的另一个交点为B，记A和B两点间的距离为f（p），求f（p）关于p的表达式．

Answer 1

（1）由对称性可知，△MFN为等腰直角三角形，则斜边MN=2p，
且点A到准线l的距离d＝FA＝FM＝√(2)p．S△AMN＝(1)/(2)MN•d＝(1)/(2)•2p•√(2)p＝4√(2)，即p=2．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），过A作AK⊥l于点K，由已知得|AF|=|AK|=|FN|=|FM|，
所以在直角△AMN中，∠AMK=30°，所以∠AFx=60°，
所以直线m的方程为y＝√(3)(x−(p)/(2))，代入y²=2px（p＞0）整理后得3x2−5px+(3)/(4)p2＝0，所以x1+x2＝(5)/(3)p，
所以|AB|=|FA|+|FB|=x1+(p)/(2)+x2+(p)/(2)＝x1+x2+p=(5)/(3)p+p＝(8)/(3)p，
即f（p）=(8)/(3)p．

第（2）问另
由对称性可设A((y02)/(2p)，y0) (y0＞0)，F((p)/(2)，0)．
由点A，M关于点F对称，得

作业帮用户 2017-10-17