椭圆题111已知椭圆以坐标轴为对称轴,短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形,焦点到椭圆的最短距离为√3,求椭圆的方程

Question

椭圆题111
已知椭圆以坐标轴为对称轴,短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形,焦点到椭圆的最短距离为√3,求椭圆的方程

Answer 1

设椭圆短半轴一端点为A,长半轴一端点为B,二焦点为F1、F2,|F1F2|=2c,焦点到椭圆的最短距离为√3,即|BF2|=√3,|F1F2|=|AF1|=|AF2|=2c,根据椭圆定义,|AF1|+|AF2|=2a,a为长半轴长,2a=2c+2c,a=2c,a-c=2c-c=√3,c=√3,
a=2√3,b=√(a^2-c^2)=3,椭圆的方程:x^2/12+y^2/9=1.因未具体说明长短轴所在坐标轴的位置,故应还有长轴在Y轴的椭圆,
另一方程为：x^2/9+y^2/12=1.