已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且过点B（0，1）．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l：y=k（x+2）交椭圆于P，Q两点，若点B始终在以PQ为直径的圆内，求实数k的取值范围．

Question

已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且过点B（0，1）．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）直线l：y=k（x+2）交椭圆于P，Q两点，若点B始终在以PQ为直径的圆内，求实数k的取值范围．

Answer 1

【分析】（1）由题意可得a=2b，b=1，解得a=2，进而得到椭圆方程；

（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），联立直线l的方程和椭圆方程，运用韦达定理，可得Q的坐标，由点B在以PQ为直径圆内，得∠PBQ为钝角或平角，即有，运用数量积的坐标表示，解不等式即可得到所求范围．

【解答】（1）由题意知，a=2b，b=1，解得a=2，

可得椭圆的标准方程为：；

（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）

联立，消去y，得（1+4k²）x²+16k²x+16k²﹣4=0，（*）

依题意：直线l：y=k（x+2）恒过点（﹣2，0），

此点为椭圆的左顶点，所以x₁=﹣2，y₁=0 ①，

由（*）式， ②，

得y₁+y₂=k（x₁+x₂）+4k③，

由①②③，可得，

由点B在以PQ为直径圆内，得∠PBQ为钝角或平角，

即．

．即，

整理得20k²﹣4k﹣3＜0，解得．

【点评】本题考查椭圆方程的求法，注意运用椭圆的性质，考查实数的取值范围，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查点在圆内的条件：点与直径的端点的张角为钝角或平角，运用数量积小于0，考查化简整理的运算能力，属于中档题．