一个椭圆问题急!好的追加已知中心在原点,一个焦点为F1(0,根号50)的椭圆被直线y=3x-2截得的弦的中点的横坐标为1/2,求椭圆的方程!拜托了越快越好!要有过程!方程懂不?

Question

一个椭圆问题 急! 好的追加
已知中心在原点,一个焦点为F1(0,根号50)的椭圆被直线y=3x-2截得的弦的中点的横坐标为1/2,求椭圆的方程!
拜托了 越快越好!
要有过程!
方程懂不?

Answer 1

设所求椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1.
因为一个焦点为(0,√50),所以椭圆的长轴在y轴上,短轴在x轴上,显然b＞a,且c=√50.
c^2=b^2-a^2,即：50=b^2-a^2,所以b^2=a^2+50
所以,所设椭圆方程变为x^2/a^2+y^2/(a^2+50)=1
又：椭圆与直线y=3x-2的有两个交点,
将y=3x-2代入椭圆方程,得：
x^2/a^2+(3x-2)^2/(a^2+50)=1
(a^2+50)×x^2+(3x-2)^2×(a^2)=a^2(a^2+50)
(a^2+50)×x^2+9a^2×x^2-12a^2×x+4a^2-a^4-50a^2=0
10(a^2+5)×x^2-12a^2×x-a^4-46a^2=0
根据韦达定理,有：
x1+x2=12a^2/[10(a^2+5)]=6a^2/[5(a^2+5)]
因为椭圆被直线y=3x-2所截弦中点横坐标为1/2.
所以(x1+x2)/2=6a^2/[10(a^2+5)]=1/2
即：3a^2/[5(a^2+5)]=1/2
6a^2=5(a^2+5)
6a^2=5a^2+25
a^2=25
将a^2=25,代入所设椭圆方程,得所求椭圆方程为：x^2/25+y^2/75=1