椭圆今晚就要倾斜角为45度的直线交椭圆X^2/4+y^2=1于A、B两点则线段AB的中点M的轨迹方程是什么?

Question

椭圆 今晚就要
倾斜角为45度的直线交椭圆X^2/4+y^2=1于A、B两点 则线段AB的中点M的轨迹方程是什么?

Answer 1

设A(x1,y1),B(x2,y2).
则A,B均满足方程：
x1^2/4+y1^2=1
x2^2/4+y2^2=1
两式相减,有(x1+x2)(x1-x2)/4+(y1+y2)(y1-y2)=0
且A,B在直线上,那么(y1-y2)/(x1-x2)=1,
则上式化简为(x1+x2)+4(y1+y2)=0
而M横坐标xm=(x1+x2)/2,纵坐标ym=(y1+y2)/2,代入上式,有x+4y=0,即为所求