在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-6mx+5与y轴的交点为A，与x轴的正半轴分别交于点B（b，0），C（c，0）．（1）当b=1时，求抛物线相应的函数表达式；（2）当b=1时，如图，E（t，0）是线段BC上

Question

在平面直角坐标系中，抛物线y=x²-6mx+5与y轴的交点为A，与x轴的正半轴分别交于点B（b，0），C（c，0）．

（1）当b=1时，求抛物线相应的函数表达式；
（2）当b=1时，如图，E（t，0）是线段BC上的一动点，过点E作平行于y轴的直线l与抛物线的交点为P．求△APC面积的最大值；
（3）当c=b+n时，且n为正整数，线段BC（包括端点）上有且只有五个点的横坐标是整数，求b的值．

Answer 1

（1）当b=1时，将点B（1，0）代入抛物线y=x²-6mx+5中，得m=1，
∴y=x²-6x+5；

（2）如图1中，直线AC与PE交于点F．

当b=1时，求得A（0，5），B（1，0），C（5，0），可得AC所在的一次函数表达式为y=-x+5，
∵E（t，0），
∴P （t，t²-6t+5），直线l与AC的交点为F（t，-t+5），
∴PF=（-t+5）-（t²-6t+5）=-t²+5t，
∴S_△APC=(1)/(2)×（-t²+5t）•5=-(5)/(2)（t-(5)/(2)）²+(125)/(8)，
∵-(5)/(2)<0，
∴当t=(5)/(2)时，面积S有最大值(125)/(8)；

（3）①当b整数时，n为整数，
∴n=4，c=b+4．则b，b+4是方程x²-mx+5=0的两个根，分别代入方程中，
得b²-mb+5=0     ①，（b+4）²-m（b+4）+5=0     ②，
由①②可得b²+4b-5=0，解得b=1或-5（舍）；
或由一元二次方程根与系数的关系得 b（b+4）=5解得b=1或-5（舍）．
②当b小数时，n为整数，∴n=5，c=b+5为小数，则b，b+5是方程x²-mx+5=0的两个根，同样可得b=(-5+3√(5))/(2)或(-5-3√(5))/(2)（舍弃）；
∴b=1或(-5+3√(5))/(2)．