如图,△ABC的内切圆⊙O与BC,CA,AB分别相切于D,E,F且AB=9cm,BC=14cm,CA=13cm.连OB,求BO的长

Question

如图,△ABC的内切圆⊙O与BC,CA,AB分别相切于D,E,F且AB=9cm,BC=14cm,CA=13cm.连OB,求BO的长

Answer 1

根据海伦公式：
S △ABC=√【p(p-a）*（p-b）*（p-c）】 p=(a+b+c)/2
P=(9+13+14)/2=18
S △ABC=√【p(p-a）*（p-b）*（p-c）】
= √【18(18-9）*（18-13）*（18-14）】
=18√10
设：r为三角形内切圆半径,
根据：S=（a+b+c）*r/2
得：r=2S/（a+b+c）
=2*18√10/(9+13+14)
=√10
根据：S△ABC =1/2a*c*sinB
得：sinB=2*S/(a*c)
=2*18√10/(9*14)
=2√10/7
设OB=X
根据sinB=2sinB/2cosB/2
=2*r/X*√[1-(r/X) ^2]
即：2√10/7=2*√10/X*√[1-(√10/X) ^2]
整理得：X^4-49X^2+490=0
得X1=√35,X2=√14（舍去）