如图，在△ABC中，∠A=60°，△ABC的内切圆I分别切边AB、AC于点D、E，直线DE分别与直线BI、CI相交于点F、G，证明：FG＝12BC．

Question

如图，在△ABC中，∠A=60°，△ABC的内切圆I分别切边AB、AC于点D、E，直线DE分别与直线BI、CI相交于点F、G，证明：FG＝(1)/(2)BC．

Answer 1

证明：连结AI、BG、ID、IE、CF，如图，
∵点I为△ABC的内心，
∴∠BIG=∠IBC+∠ICB=(1)/(2)∠ABC+(1)/(2)∠ACB=(1)/(2)（∠ABC+∠ACB），
∵△ABC的内切圆I分别切边AB、AC于点D、E，
∴AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∴∠ADE=(1)/(2)（180°-∠A）=(1)/(2)（∠ABC+∠ACB），
∴∠BDG=∠ADE=(1)/(2)（∠ABC+∠ACB），
∴∠BDG=∠BIG，
∴B、I、D、G四点共圆，
∴∠BGI=∠BDI，
∵AD与⊙I相切，
∴∠BDI=90°，
∴∠BGI=90°，
∵∠ADE=∠ABF+∠DFB，
∴∠DFB=∠ADE-(1)/(2)∠ABC=(1)/(2)（∠ABC+∠ACB）-(1)/(2)∠ABC=(1)/(2)∠ACB=∠ECI，
∴F、I、C、E四点共圆，
∴∠FCI=∠IEF，∠IFC=∠IEC，
∵△ABC的内切圆I分别切边AB、AC于点D、E，
∴∠IEC=90°，AI垂直平分DE，
∴∠IED=∠IAE=(1)/(2)∠BAC=(1)/(2)×60°=30°，
∴∠BFC=90°，∠GCF=30°，
而∠BGC=90°，
∴B、G、F、C四点共圆，即点G和F在以BC为直径的圆上，
∴(GF)/(sin∠GCF)=BC，
∴GF=BC•sin30°=(1)/(2)BC．