解三角形题：求证三角形中r=4Rsin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)其中r为内切圆半径,R为外接圆半径．要有详细过

Question

解三角形题：求证三角形中 r=4Rsin(A/2)sin(B/2)sin(C/2) 其中r为内切圆半径,R为外接圆半径．要有详细过

Answer 1

nzy2013,
设ΔABC的三个顶角分别为A、B、C,内切圆圆心为O,外接圆圆心为P
由正弦定理可知,在ΔABC中有：
AB/sinC＝2R.（1）
∵在RtΔOAE和RtΔOBE中分别有：
AE＝OE×cot∠OAE＝r×cot(A/2),
EB＝OE×cot∠OBE＝r×cot(B/2),
又∵AB＝AE＋EB
∴将各等量代入等式（1）得：
((r×cot(A/2))＋( r×cot(B/2)))/sinC＝2R
由三角函数的一系列公式,来化简上式：
r/R＝2×sinC/(cot(A/2)＋cot(B/2))
＝2×(2×sin(C/2)×cos(C/2))/((cos(A/2)/sin(A/2))＋(cos(B/2)/sin(B/2)))
＝2×(2×sin(C/2)×cos(C/2) ×sin(A/2)×sin(B/2))/(sin(A/2)×cos(B/2)＋cos(A/2)×sin(B/2))
＝2×(2×sin(A/2)×sin(B/2)×sin(C/2)×cos(C/2))/sin((A＋B)/2)
∵sin((A＋B)/2)＝sin((∏－C)/2)＝sin((∏/2)－(C/2))＝cos(C/2)
∴2×(2×sin(A/2)×sin(B/2)×sin(C/2)×cos(C/2))/sin((A＋B)/2)
＝2×(2×sin(A/2)×sin(B/2)×sin(C/2)×cos(C/2))/cos(C/2)
＝4×sin(A/2)×sin(B/2)×sin(C/2)
所以r/R＝4×sin(A/2)×sin(B/2)×sin(C/2)
即：r＝4Rsin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)