已知函数f（x）=lnx，g（x）=（x-a）2+（lnx-a）2．（Ⅰ）求函数f（x）在A（1，0）处的切线方程；（Ⅱ）若g′（x）在[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅲ）证明：g（x）≥12．

Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=（x-a）²+（lnx-a）²．
（Ⅰ）求函数f（x）在A（1，0）处的切线方程；
（Ⅱ）若g′（x）在[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）证明：g（x）≥(1)/(2)．

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）=lnx，
∴f′（x）=(1)/(x)，…（1分）
∴f′（1）=1，…（2分）
故切线方程为y=x-1；…（4分）
（Ⅱ）∵g（x）=（x-a）²+（lnx-a）²，
∴g′（x）=2（x-(a)/(x)+(lnx)/(x)-a），…（5分）
令F（x）=x-(a)/(x)+(lnx)/(x)-a，则y=F（x）在[1，+∞）上单调递增．
F′（x）=(x2-lnx+a+1)/(x2)，则当x≥1时，x²-lnx+a+1≥0恒成立，
即当x≥1时，a≥-x²+lnx-1恒成立．…（6分）
令G（x）=-x²+lnx-1，则当x≥1时，G′（x）=(1-2x2)/(x)＜0，
故G（x）=-x²+lnx-1在[1，+∞）上单调递减，从而G（x）_max=G（1）=-2，（7分）
故a≥-2．…（8分）
（Ⅲ）证明：g（x）=（x-a）²+（lnx-a）²=2a²-2（x+lnx）a+x²+ln²x，
令h（a）=2a²-2（x+lnx）a+x²+ln²x，则h（a）≥((x-lnx)2)/(2)．…（9分）
令Q（x）=x-lnx，则Q′（x）=(x-1)/(x)，显然Q（x）=在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，…（10分）
则Q（x）_min=Q（1）=1，…（11分）
则g（x）=h（a）≥(1)/(2)．…（12分）