某机械厂有大量直角三角形铁板余料，已知∠ACB=90°，AC=5cm，∠B=30°现将这种三角形余料进行加工裁剪成扇形（如图甲）和半圆形（如图乙、丙）的零件垫片，图甲中D为切点，图乙中C、D为

Question

某机械厂有大量直角三角形铁板余料，已知∠ACB=90°，AC=5cm，∠B=30°现将这种三角形余料进行加工裁剪成扇形（如图甲）和半圆形（如图乙、丙）的零件垫片，图甲中D为切点，图乙中C、D为切点，图丙中D、E为切点．

（1）分别求出三种情形下零件垫片的面积；
（2）哪种裁剪方式可使余料再利用最好．

Answer 1

（1）∵∠ACB=90°，AC=5cm，∠B=30°
∴AB=10，BC=5√(3)；
①甲：连接CD，
∵D为切点
∴扇形的半径r=CD
∴10CD=5×5√(3)
即CD=(5√(3))/(2)
∴S=(1)/(4)CD²π=(75)/(16)π≈4.69π  cm²；
②乙：连接OD，
∵C、D为切点
∴扇形的半径r=OD=OC，且OD⊥AB
∴△BOD∽△BAC
∴OD：AC=OB：AB
即r：5=（5√(3)-r）：10
解得r=(5√(3))/(3)
∴S=(1)/(2)×(75)/(9)π=(25)/(6)π≈4.17πcm²；
③丙：连接OD，OE，
∵D、E为切点
∴扇形的半径r=OD=OE
∴△AOD∽△ABC
∴AD：AC=OD：BC
即（5-r）：5=r：5√(3)
解得r=(15−5√(3))/(2)
∴S=(1)/(2)πr²=(75)/(8+4√(3))π≈5.02πcm²；


（2）由（1）可知，这三种裁剪方式中，丙所裁得的扇形的面积最大，从材料的利用率方面来看丙的裁剪方式可使余料再利用最好．